Álgebra y
Geometría Analítica

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Programa analítico

Unidad Temática 1: Números Complejos

Introducción: el espacio unidimensional: la recta numérica.
Breve repaso sobre los distintos conjuntos numéricos: del número natural al número real.
El espacio bidimensional. Sistema de representación Cartesiano. Par ordenado. Distancia entre dos puntos. Punto que divide un segmento en una razón dada.
El espacio tridimensional.
El número complejo. La unidad imaginaria: sus potencias. Forma binómica de un complejo. Operaciones. Complejo conjugado.
Sistema de representación polar. Transformación entre los sistemas cartesiano y polar.
Forma polar o trigonométrica de los complejos: producto, potencia (Fórmula de De Moivre) y cociente. Raíz n-ésima de un complejo. Aplicaciones.

Unidad Temática 2: Análisis Combinatorio

Conceptos preliminares. Principio fundamental del análisis combinatorio. La función factorial. Fórmula de Stirling.
a) Combinatoria simple: Variaciones o Permutaciones simples de n elementos tomados de r en r, Permutaciones simples de n elementos y Combinaciones simples de n elementos tomados de r en r.
b) Potencia n-ésima de un binomio. El número combinatorio: propiedades. Potencia n-ésima de un polinomio. Fórmula de Leibnitz.
c) Combinatoria con repetición: Variaciones con repetición. Permutaciones con repetición o con elementos indistinguibles. Combinaciones con repetición.

Unidad Temática 3: Álgebra Vectorial.

Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores fijos, deslizantes y libres. Equipolencia. Igualdad entre vectores. Operaciones: suma y producto por un escalar.
Expresión de un vector en coordenadas cartesianas. Módulo. Versor. Combinación lineal. Ángulos y cosenos directores. Producto escalar: definiciones; propiedades.
Ángulo entre dos vectores. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Interpretación geométrica. Interpretación geométrica.
Espacio generado por un conjunto de vectores. Independencia lineal.
Interpretación geométrica en R2 y en R3 Producto vectorial: definición y propiedades. Expresión analítica. Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial.
Producto mixto: definición y propiedades. Interpretación geométrica: condición de coplanaridad entre tres vectores.

Unidad Temática 4: Recta y plano

a) La recta en el plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación de la recta a partir de la forma vectorial: conocidos un punto y un vector director; conocidos un punto y un vector normal.. Ecuaciones paramétricas, cartesianas simétrica, explícita, implícita, segmentaria, normal. Distancia de punto a recta. Intersección entre rectas. Ángulo entre rectas. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Recta que pasa por un punto y es paralela o perpendicular a una recta dada.
b) El plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación del plano a partir de la ecuación vectorial: forma general o implícita, forma segmentaria, forma normal. Distancia de un punto a un plano. Plano que pasa por tres puntos. Posiciones relativas de un plano respecto del origen de coordenadas, de los ejes y de los planos coordenados. Ángulo entre dos planos. Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad entre planos.
c) La recta en el espacio tridimensional: La recta como intersección de planos: su determinación. la ecuación vectorial; ecuaciones paramétricas; ecuaciones cartesianas simétricas. Pasaje a la forma cartesiana simétrica de las ecuaciones de la recta dada como intersección de planos. Recta por dos puntos; casos particulares. Planos proyectantes de una recta. Ángulo entre rectas; condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Ángulo entre recta y plano; condiciones de paralelismo y de perpendicularidad. Intersección entre recta y plano. Posiciones relativas entre rectas del espacio. Obtención de la intersección entre rectas. Rectas alabeadas. distancia entre las mismas. Distancia de punto a recta.

Unidad Temática 5: Matrices y Determinantes

a) Matrices: Definición. Operaciones elementales de fila y de columna. Igualdad de Matrices. Álgebra Matricial: adición de matrices: propiedades. Producto de una matriz por un escalar: propiedades. Matrices particulares: diagonal, escalar, identidad, traspuesta, simétrica, antisimétrica, triangular, ortogonal, compleja conjugada, asociada, hermítica. Producto de matrices. Propiedades. Definición de matriz inversa. Rango de un conjunto de vectores. Rango fila y rango columna. Rango o característica de una matriz.
b) Determinantes: definición. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Regla de Sarrus. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Propiedades de los determinantes: cálculo de un determinante mediante la reducción de su orden.
c) Matriz de los adjuntos o matriz cofactor. Obtención de la matriz inversa utilizando la matriz de los adjuntos. Transformaciones elementales en una matriz. Justificación de la invariancia del rango en las transformaciones elementales. Obtención del rango utilizando transformaciones elementales. Matrices elementales: su equivalencia con las transformaciones elementales. Obtención de la matriz inversa mediante transformaciones elementales: Justificación del método. Aplicación: Método de Gauss-Jordan.

Unidad Temática 6: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Obtención de la solución por inversión de matrices. Teorema o Regla de Cramer. Método de eliminación de Gauss. Método de Gauss-Jordan. Sistemas lineales de orden cualquiera. Sistemas homogéneos. Análisis de compatibilidad. Teorema de Rouché-Frobenius; su demostración Resolución aproximada de sistemas incompatibles por cuadrados mínimos. La matriz pseudoinversa.

Unidad Temática 7: Espacios Vectoriales

Definición de espacio vectorial. Leyes de Composición. Propiedades. Subespacios. Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal. Sistema de Generadores. Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Proceso de ortonormalización de bases de Gram-Schmidt. Interpretación geométrica del proceso.

Unidad Temática 8: Las Cónicas

Definición general de las Cónicas. Expresiones canónicas de la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola.; elementos y construcciones. Ecuaciones paramétricas. Traslación y rotación de ejes en el plano. Matriz de rotación. Las cónicas con centro o vértice desplazado. Elementos de las mismas. Ecuación general de las cónicas desplazadas: obtención de las ecuaciones canónicas a partir de la ecuación general.
Método de completar cuadrados. La ecuación general de segundo grado en dos variables. Existencia y justificación conceptual del término rectangular. Identificación de una cónica partiendo de la ecuación general. Reducción a la forma canónica por eliminación de la rotación y de la traslación.

Unidad Temática 9: Transformaciones

Transformaciones de un plano en sí mismo Transformaciones biunívocas. Transformación inversa. Transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Aplicaciones a la Diagonalización . Influencia de un cambio de base en la matriz que representa una transformación lineal. Autovalores y autovectores. Diagonalización de una matriz. Estudio de la ecuación general de segundo grado en dos variables.

Unidad Temática 10: Superficies

Sistemas de Representación: cartesiano ortogonal; coordenadas esféricas, cilíndricas y polares en E3; transformación de coordenadas entre los distintos sistemas. Superficie. Definición. Análisis y discusión de la ecuación general de segundo grado en tres variables.
Conceptualización del problema de obtención de las formas canónicas a partir de la ecuación general: eliminación de la rotación y de la traslación. La superficie esférica. Cilindros. Conos. Superficies de revolución. La esfera, el elipsoide, los hiperboloides de una y dos hojas, los paraboloides elíptico e hiperbólico: construcción de una superficie por discusión de su ecuación. Identificación de ecuaciones en distintos espacios.

• Ing. Viviana Cappello - UTN FRLP @ 2018
• By: Innovo
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